Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) và \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu : \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) thì \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) ?
a)
Do \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) nên AB // DC và AB = DC .
Vì vậy tứ giác ABCD là là hình bình hành.
Từ đó suy ra: AD = BC và AD//BC nên \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Cách 2:
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Tứ giác ABCD là hình bình hành
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB // DC\\
AB = DC
\end{array} \right.\)
Mà \(AB // DC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\, \overrightarrow {DC} \) cùng phương, do đó cùng hướng.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} , \overrightarrow {DC} \,{\rm{ cùng hướng}}\\
AB = DC
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có :
a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{O}\)
b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\)
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)
Ta có:
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \end{array}\)
Lại có:
\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)
Vậy \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)
Cho tứ diện ABCD
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\)
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có \(AB\perp CD\) và \(AC\perp DB\) thì \(AD\perp BC\)
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng :
\(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
N là trung điểm của CD:
2= + (1)
Theo quy tắc 3 điểm, ta có:
= + (2)
= + (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: 2= +++
vì M là trung điểm của Ab nên: + =
Suy ra : 2 = +
Chứng minh tương tự, ta có 2 = +
Chú ý: Sau khi chứng minh 2 C = + ta chỉ cần chứng minh thêm + = + cũng được
Ta có: + = +++
= +++= ++
Vì = nên ta có: +=+
và 2= + = +
Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD}.\)
Tứ giác ABCD là một hình bình hành \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \) Hai vecto \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng và AD = BC.
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} .\) (đpcm)
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng :
a) \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)
b) \(\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\)
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) ?
Ta chứng minh hai mệnh đề:
- Khi = thì ABCD là hình bình hành.
Thật vậy, theo định nghĩa của vec tơ bằng nhau thì:
= ⇔ =
và và cùng hướng.
và cùng hướng => và cùng phương, suy ra giá của chúng song song với nhau, hay AB // DC (1)
Ta lại có = => AB = DC (2)
Từ (1) và (2), theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành, tứ giác ABCD có một cặp cạnh song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.
- Khi ABCD là hình bình hành thì =
Khi ABCD là hình bình hành thì AB // CD. Dễ thấy, từ đây ta suy ra hai vec tơ và cùng hướng (3)
Mặt khác AB = CD => = (4)
Từ (3) và (4) suy ra = .